Η ακολουθία σε αυτό το παράδειγμα δεν ήταν μονότονη, αλλά συγκλίνει. Σημειώστε επίσης ότι μπορούμε να κάνουμε πολλές παραλλαγές αυτού του θεωρήματος. Αν το {an} οριοθετείται πάνω και αυξάνεται τότε συγκλίνει και ομοίως αν το {an} οριοθετείται κάτω και μειώνεται τότε συγκλίνει.
Είναι όλες οι μονοτονικές ακολουθίες συγκλίνουσες;
Α ακολουθία (α ) είναι μονότονη αυξανόμενη εάν a +1≥ a για όλα τα n ∈ N. Η ακολουθία είναι αυστηρά μονότονη αυξανόμενη εάν έχουμε > στον ορισμό. Οι μονοτονικές φθίνουσες αλληλουχίες ορίζονται παρόμοια. Μια περιορισμένη μονοτονική αύξουσα ακολουθία είναι συγκλίνουσα.
Πρέπει μια σειρά να είναι μονότονη για να συγκλίνει;
Δεν συγκλίνουν όλες οι οριοθετημένες ακολουθίες, όπως το (−1)n, αλλά αν γνωρίζαμε ότι η οριοθετημένη ακολουθία ήταν μονότονη, τότε αυτό θα άλλαζε. αν an ≥ an+1 για όλα τα n ∈ N. Μια ακολουθία είναι μονότονη εάν είναι είτε αύξουσα είτε φθίνουσα. και οριοθετημένη, τότε συγκλίνει.
Μπορεί μια μη οριοθετημένη ακολουθία να είναι συγκλίνουσα;
Έτσι η απεριόριστη ακολουθία δεν μπορεί να είναι συγκλίνουσα.
Τι σημαίνει αν μια ακολουθία δεν είναι μονότονη;
Αν μια ακολουθία άλλοτε αυξάνεται και άλλοτε φθίνουσα και επομένως δεν έχει σταθερή κατεύθυνση, σημαίνει ότι η ακολουθία δεν είναι μονότονη. Με άλλα λόγια, μια μη μονοτονική ακολουθία αυξάνεται για μέρη της ακολουθίας και μειώνεται για άλλα.
