Το κλασικό θεώρημα μοναδικότητας εσωτερικού για ολομορφικές (δηλαδή αναλυτικές μονής τιμής) συναρτήσεις στο D δηλώνει ότι αν δύο ολομορφικές συναρτήσεις f(z) και g(z) στο D συμπίπτουν σε κάποιο σύνολο E⊂D που περιέχει τουλάχιστον ένα οριακό σημείο στο D, μετά f(z)≡g(z) παντού στο D.
Είναι οι ολομορφικές συναρτήσεις ολόκληρες;
Μια ολομορφική συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο ονομάζεται ολόκληρη συνάρτηση Η φράση "ολομορφική σε σημείο z0" σημαίνει όχι μόνο διαφοροποιήσιμο στο z0, αλλά διαφοροποιήσιμο παντού μέσα σε κάποια γειτονιά του z0 στο μιγαδικό επίπεδο.
Είναι όλες οι αναλυτικές συναρτήσεις διαφοροποιήσιμες;
Οποιαδήποτε αναλυτική συνάρτηση είναι ομαλή, αυτή η είναι, απείρως διαφορίσιμη. Το αντίστροφο δεν ισχύει για πραγματικές συναρτήσεις. Στην πραγματικότητα, υπό μια ορισμένη έννοια, οι πραγματικές αναλυτικές συναρτήσεις είναι αραιές σε σύγκριση με όλες τις πραγματικές άπειρα διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ολομορφικών και αναλυτικών συναρτήσεων;
A Η συνάρτηση f:C→C λέγεται ότι είναι ολομορφική σε ένα ανοιχτό σύνολο A⊂C εάν είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του συνόλου A. Η συνάρτηση f: Το C→C λέγεται ότι είναι αναλυτικό εάν έχει αναπαράσταση σειράς ισχύος.
Γιατί οι ολομορφικές συναρτήσεις είναι απείρως διαφοροποιήσιμες;
Η ύπαρξημιας μιγαδικής παραγώγου σημαίνει ότι τοπικά μια συνάρτηση μπορεί μόνο να περιστραφεί και να επεκταθεί. Δηλαδή, στο όριο, οι δίσκοι αντιστοιχίζονται σε δίσκους. Αυτή η ακαμψία είναι που κάνει μια σύνθετη διαφοροποιήσιμη συνάρτηση απείρως διαφοροποιήσιμη, και ακόμη περισσότερο, αναλυτική.
