Η φιλοσοφική σημασία της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας ήταν ότι ξεκαθάρισε πολύ τη σχέση μεταξύ των μαθηματικών, της επιστήμης και της παρατήρησης… Η επιστημονική σημασία είναι ότι άνοιξε το δρόμο για τη γεωμετρία του Ρίμαν, που με τη σειρά του άνοιξε το δρόμο για τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν.
Γιατί είναι σημαντική η Ευκλείδεια γεωμετρία;
Παρά την αρχαιότητά του, παραμένει ένα από τα πιο σημαντικά θεωρήματα στα μαθηματικά. Το δίνει τη δυνατότητα σε κάποιον να υπολογίζει αποστάσεις ή, πιο σημαντικό, να ορίζει αποστάσεις σε καταστάσεις πολύ πιο γενικές από τηνστοιχειώδη γεωμετρία. Για παράδειγμα, έχει γενικευτεί σε πολυδιάστατους διανυσματικούς χώρους.
Γιατί πιστεύετε ότι η υπερβολική γεωμετρία είναι πολύ σημαντική για τη μελέτη;
Μια μελέτη της υπερβολικής γεωμετρίας μας βοηθά να ξεφύγουμε από τους εικονογραφικούς μας ορισμούς προσφέροντάς μας έναν κόσμο στον οποίο όλες οι εικόνες αλλάζουν - αλλά η ακριβής σημασία των λέξεων που χρησιμοποιούνται σε κάθε ορισμό παραμένουν αμετάβλητα. Η υπερβολική γεωμετρία μας βοηθά να επικεντρωθούμε στη σημασία των λέξεων.
Ποια είναι η ουσιαστική διαφορά μεταξύ της Ευκλείδειας γεωμετρίας και των μη Ευκλείδειων γεωμετριών;
Η ουσιαστική διαφορά μεταξύ της Ευκλείδειας γεωμετρίας και αυτών των δύο μη Ευκλείδειων γεωμετριών είναι η φύση των παράλληλων ευθειών: Στην Ευκλείδεια γεωμετρία, δεδομένου ενός σημείου και μιας ευθείας, υπάρχει ακριβώς μία ευθεία στο σημείο που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τη δεδομένη ευθεία και δεν το τέμνει ποτέ.
Τι έμαθα για την Ευκλείδεια και τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία;
Ενώ η Ευκλείδεια γεωμετρία επιδιώκει να κατανοήσει τη γεωμετρία επίπεδων, δισδιάστατων χώρων, η μη ευκλείδεια γεωμετρία μελετά καμπύλες, αντί επίπεδες, επιφάνειεςΑν και η ευκλείδεια γεωμετρία είναι χρήσιμη σε πολλά πεδία, σε ορισμένες περιπτώσεις, η μη ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να είναι πιο χρήσιμη.
