Στα μαθηματικά, ένα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου ονομάζεται πουθενά πυκνό ή σπάνιο εάν το κλείσιμό του έχει κενό εσωτερικό. Με μια πολύ χαλαρή έννοια, είναι ένα σύνολο του οποίου τα στοιχεία δεν συγκεντρώνονται πουθενά σφιχτά. Για παράδειγμα, οι ακέραιοι αριθμοί δεν είναι πουθενά πυκνοί μεταξύ των πραγματικών, ενώ μια ανοιχτή μπάλα δεν είναι.
Πώς αποδεικνύεις ότι ένα σετ δεν είναι πουθενά πυκνό;
Ένα υποσύνολο A ⊆ X ονομάζεται πουθενά πυκνό στο X εάν το εσωτερικό του κλεισίματος του A είναι κενό, δηλ. (A)◦=∅. Διαφορετικά, το Α δεν είναι πουθενά πυκνό εάν περιέχεται σε ένα κλειστό σετ με άδειο εσωτερικό. Περνώντας στα συμπληρώματα, μπορούμε να πούμε ισοδύναμα ότι το Α δεν είναι πουθενά πυκνό αν το συμπλήρωμά του περιέχει ένα πυκνό ανοιχτό σύνολο (γιατί;).
Τι είναι παντού πυκνό σύνολο;
Ένα υποσύνολο Α ενός τοπολογικού χώρου Χ είναι πυκνό για το οποίο το κλείσιμο είναι ολόκληρος ο χώρος Χ (ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν την ορολογία παντού πυκνό). Ένας κοινός εναλλακτικός ορισμός είναι: ένα σύνολο Α που τέμνει κάθε μη κενό ανοιχτό υποσύνολο του X.
Το 1 N δεν είναι πουθενά πυκνό;
Ένα παράδειγμα ενός συνόλου που δεν είναι κλειστό αλλά εξακολουθεί να μην είναι πουθενά πυκνό είναι {1n|
∈N}. Έχει ένα οριακό σημείο που δεν είναι στο σύνολο (δηλαδή το 0), αλλά το κλείσιμό του δεν είναι ακόμα πουθενά πυκνό επειδή δεν χωρούν ανοιχτά διαστήματα εντός {1n|n∈N}∪{0}.
Τι σημαίνει αν ένα σύνολο είναι πυκνό;
Στην τοπολογία και τους σχετικούς τομείς των μαθηματικών, ένα υποσύνολο Α ενός τοπολογικού χώρου Χ ονομάζεται πυκνό (στο Χ) εάν κάθε σημείο x στο Χ είτε ανήκει στο Α είτε είναι οριακό σημείο του Α; δηλαδή το κλείσιμο του Α αποτελεί ολόκληρο το σύνολο Χ.
