Όλες οι κυκλικές ομάδες είναι Abelian , αλλά μια ομάδα Abelian δεν είναι απαραίτητα κυκλική. Όλες οι υποομάδες μιας ομάδας Abelian είναι φυσιολογικές. Σε μια ομάδα Abelian, κάθε στοιχείο βρίσκεται σε μια κλάση σύζευξης από μόνο του και ο πίνακας χαρακτήρων περιλαμβάνει δυνάμεις ενός μεμονωμένου στοιχείου που είναι γνωστό ως γεννήτρια ομάδας δημιουργίας ομάδας είναι ένα σύνολο στοιχείων ομάδας έτσι ώστε Πιθανώς η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των γεννητριών στον εαυτό τους και η μία στην άλλη είναι ικανή να παράγει όλα τα στοιχεία της ομάδας. Οι κυκλικές ομάδες μπορούν να δημιουργηθούν ως δυνάμεις μιας μόνο γεννήτριας. https://mathworld.wolfram.com › GroupGenerators
Group Generators -- από Wolfram MathWorld
Ποια ομάδα δεν είναι αβελιανή;
Μια μη-Αβελιανή ομάδα, που μερικές φορές είναι επίσης γνωστή και ως μη μεταθετική ομάδα, είναι μια ομάδα της οποίας ορισμένα στοιχεία δεν μετακινούνται. Η απλούστερη μη-Αβελιανή ομάδα είναι η διεδρική ομάδα D3, η οποία είναι ομαδικής τάξης έξι.
Είναι όλες οι απλές ομάδες αβελιανές;
οι μόνες απλές ομάδες αβελιανών είναι οι οι ομάδες πρώτης τάξης, οι οποίες είναι όλες πεπερασμένες. υπάρχουν άπειρες απλές ομάδες, οι οποίες επομένως είναι μη αβελιανές.
Πώς καταλαβαίνετε εάν μια ομάδα είναι αβελιανή;
Τρόποι για να δείξεις μια ομάδα είναι αβελιανή
- Εμφάνιση του εναλλάκτη [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 δύο αυθαίρετων στοιχείων x, y∈G x, y ∈ G πρέπει να είναι η ταυτότητα.
- Εμφάνιση της ομάδας είναι ισόμορφη σε ένα άμεσο γινόμενο δύο αβελιανών (υπο)ομάδων.
Ποια ομάδα είναι πάντα αβελιανή;
Ναι, όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές. Ακολουθεί μια λίγη περισσότερη λεπτομέρεια που σας βοηθά να καταστεί σαφές το "γιατί" όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελικές (δηλαδή αντικαταστατικές). Έστω G μια κυκλική ομάδα και g μια γεννήτρια του G.
