Αν η f είναι μιγαδική διαφορίσιμη σε κάθε σημείο z0 σε ένα ανοιχτό σύνολο U, λέμε ότι η f είναι ολομορφική στο U. … Μια απλή αντίστροφη είναι ότι αν το u και το v έχουν συνεχείς πρώτες μερικές παραγώγους και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy–Riemann, τότε η f είναι ολομορφική.
Είναι η ολομορφική συνάρτηση συνεχής;
Η παράγωγος μιας ολομορφικής συνάρτησης είναι πάντα συνεχής. Αυτό το παρόμοιο αποτέλεσμα δεν ισχύει στο πλαίσιο της πραγματικής ανάλυσης: υπάρχουν ορισμένες συναρτήσεις πραγματικής αξίας μιας πραγματικής μεταβλητής που είναι διαφοροποιήσιμες και της οποίας η παράγωγος δεν είναι συνεχής1.
Η αναλυτική συνεπάγεται συνεχή;
Και αν μια συνάρτηση είναι αναλυτική σημαίνει ότι είναι συνεχής; Ναι. Κάθε αναλυτική συνάρτηση έχει την ιδιότητα να είναι απείρως διαφορίσιμη. Εφόσον η παράγωγος είναι καθορισμένη και συνεχής, η συνάρτηση είναι συνεχής παντού.
Η αναλυτική υπονοεί ολομορφική;
Μια συνάρτηση με συγκλίνουσα μιγαδική σειρά ισχύος ∑ an(z − z0)n ονομάζεται αναλυτική συνάρτηση. Το αναλυτικό υπονοεί Ολομορφικό στο δίσκο σύγκλισης.
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ολομορφικών και αναλυτικών συναρτήσεων;
A Η συνάρτηση f:C→C λέγεται ότι είναι ολομορφική σε ένα ανοιχτό σύνολο A⊂C εάν είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του συνόλου A. Η συνάρτηση f: Το C→C λέγεται ότι είναι αναλυτικό εάν έχει αναπαράσταση σειράς ισχύος.