Παράδειγμα: Ο δακτύλιος Z των ακεραίων Gauss είναι μια πεπερασμένη δημιουργημένη μονάδα Z και το Z είναι Noetherian. Σύμφωνα με το προηγούμενο Θεώρημα, το Z είναι ένας Noetherian δακτύλιος. Θεώρημα: Οι δακτύλιοι των κλασμάτων των Noetherian δακτυλίων είναι Noetherian.
Είναι το Z X ένα Noetherian δαχτυλίδι;
Ο δακτύλιος Z[X, 1 /X] είναι Noetherian αφού είναι ισόμορφος προς το Z[X, Y]/(XY − 1).
Γιατί το Z Noetherian;
Αλλά υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ιδανικά στο Z που περιέχουν I1 αφού αντιστοιχούν σε ιδανικά του πεπερασμένου δακτυλίου Z/(a) από το Λήμμα 1.21. Επομένως η αλυσίδα δεν μπορεί να είναι απείρως μακριά, και επομένως το Z είναι Noetherian.
Τι είναι ένας τομέας Noetherian;
Οποιοσδήποτε κύριος ιδανικός δακτύλιος, όπως οι ακέραιοι αριθμοί, είναι Noetherian καθώς κάθε ιδανικό δημιουργείται από ένα μόνο στοιχείοΑυτό περιλαμβάνει τους κύριους ιδανικούς τομείς και τους Ευκλείδειους τομείς. Ένας τομέας Dedekind (π.χ. δακτύλιοι ακεραίων) είναι ένας τομέας Noetherian στον οποίο κάθε ιδανικό δημιουργείται από το πολύ δύο στοιχεία.
Πώς αποδεικνύεις ότι ένα δαχτυλίδι είναι Noetherian;
Θεώρημα Ένας δακτύλιος R είναι Noetherian αν και μόνο αν κάθε μη κενό σύνολο ιδανικών του R περιέχει ένα μέγιστο στοιχείο Απόδειξη ⇐=Έστω I1 ⊆ I2 ⊆··· μια αύξουσα αλυσίδα ιδανικών του R. Βάλτε S={I1, I2, …}. Εάν κάθε μη κενό σύνολο ιδανικών περιέχει ένα μέγιστο στοιχείο, τότε το S περιέχει ένα μέγιστο στοιχείο, ας πούμε IN.
