Θεώρημα 1 Κάθε Ακολουθία Cauchy πραγματικών αριθμών συγκλίνει σε ένα όριο.
Πώς βρίσκετε το όριο μιας ακολουθίας Cauchy;
Απόδειξη: Το όριο μιας ακολουθίας Cauchy an=limn→∞an.
Συγκλίνει κάθε ακολουθία Cauchy;
Κάθε πραγματική ακολουθία Cauchy είναι συγκλίνουσα. Θεώρημα.
Όλες οι συγκλίνουσες ακολουθίες έχουν όριο;
Επομένως για όλες τις συγκλίνουσες ακολουθίες το όριο είναι μοναδικό. Σημείωση Ας υποθέσουμε ότι το {an}n∈N είναι συγκλίνον. Τότε με το Θεώρημα 3.1 το όριο είναι μοναδικό και έτσι μπορούμε να το γράψουμε ως l, ας πούμε.
Μπορεί μια ακολουθία να συγκλίνει σε δύο διαφορετικά όρια;
σημαίνει ότι L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, και επομένως η ακολουθία δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικά όρια. Για αυτό το ϵ, αφού το a συγκλίνει στο L1, έχουμε ότι υπάρχει ένας δείκτης N1 έτσι ώστε |an −L1| Ν1. Ταυτόχρονα, το an συγκλίνει στο L2, και έτσι υπάρχει ένας δείκτης N2 έτσι ώστε |an −L2| N2.