Αν οι συναρτήσεις fi εξαρτώνται γραμμικά, τότε το ίδιο ισχύει και για τις στήλες του Wronskian καθώς η διαφοροποίηση είναι γραμμική πράξη, οπότε η Ο Βρόνσκιαν εξαφανίζεται. Έτσι, το Wronskian μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι ένα σύνολο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι γραμμικά ανεξάρτητο σε ένα διάστημα, δείχνοντας ότι δεν εξαφανίζεται πανομοιότυπα.
Τι εννοείται με τον όρο Wronskian;
: μια μαθηματική ορίζουσα του οποίου η πρώτη σειρά αποτελείται από n συναρτήσεις του x και του οποίου οι επόμενες σειρές αποτελούνται από τις διαδοχικές παραγώγους αυτών των ίδιων συναρτήσεων σε σχέση με το x.
Τι συμβαίνει όταν το Wronskian είναι 0;
Αν οι f και g είναι δύο διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των οποίων το Wronskian είναι μη μηδενικό σε οποιοδήποτε σημείο, τότε είναι γραμμικά ανεξάρτητες.… Αν τα f και g είναι και οι δύο λύσεις της εξίσωσης y + ay + κατά=0 για ορισμένα a και b, και αν το Wronskian είναι μηδέν σε οποιοδήποτε σημείο του τομέα, τότε είναι μηδέν παντούκαι f και g εξαρτώνται.
Πώς χρησιμοποιείτε το Wronskian για να αποδείξετε τη γραμμική ανεξαρτησία;
Έστω f και g διαφοροποιήσιμα στο [a, b]. Αν το Wronskian W(f, g)(t0) είναι μη μηδενικό για κάποιο t0 στο [a, b] τότε τα f και g είναι γραμμικά ανεξάρτητα στα [a, b]. Εάν τα f και g εξαρτώνται γραμμικά, τότε το Wronskian είναι μηδέν για όλα τα t στο [a, b].
Πώς ξέρετε εάν δύο εξισώσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες;
Ένας ακόμη ορισμός: Δύο συναρτήσεις y 1 και y 2 λέγεται ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητες αν καμία συνάρτηση είναι σταθερό πολλαπλάσιο του άλλου Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις y 1=x 3 και y 2 =5 x 3 δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητες (είναι γραμμικά εξαρτώμενες), αφού το y 2 είναι σαφώς σταθερό πολλαπλάσιο του y 1
