Τρόποι για να δείξεις μια ομάδα είναι αβελιανή
- Εμφάνιση του εναλλάκτη [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 δύο αυθαίρετων στοιχείων x, y∈G x, y ∈ G πρέπει να είναι η ταυτότητα.
- Εμφάνιση της ομάδας είναι ισόμορφη σε ένα άμεσο γινόμενο δύο αβελιανών (υπο)ομάδων.
Πώς καταλαβαίνετε εάν μια ομάδα είναι ανταλλακτική;
Αν ο αντιμεταθετικός νόμος ισχύει σε μια ομάδα, τότε μια τέτοια ομάδα ονομάζεται ομάδα Abelian ή ανταλλακτική ομάδα. Έτσι η ομάδα (G, ∗) λέγεται ότι είναι μια ομάδα Abelian ή ανταλλάξιμη ομάδα εάν a∗b=b∗a, ∀a, b∈G. Μια ομάδα που δεν είναι Αβελιανή ονομάζεται μη Αβελιανή ομάδα.
Πώς δείχνετε ότι μια ομάδα δεν είναι Αβελιανή;
Ορισμός 0.3: Αβελιανή ομάδα Εάν μια ομάδα έχει την ιδιότητα ab=ba για κάθε ζεύγος στοιχείων a και b, λέμε ότι η ομάδα είναι Abelian. Μια ομάδα δεν είναι αβελιανή εάν υπάρχει κάποιο ζεύγος στοιχείων a και b για τα οποία ab=ba.
Τι κάνει μια ομάδα μη-Αβελιανή;
Στα μαθηματικά, και συγκεκριμένα στη θεωρία ομάδων, μια μη-αβελιανή ομάδα, που μερικές φορές αποκαλείται μη-ανταλλάξιμη ομάδα, είναι μια ομάδα (G, ∗) στην οποία υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος στοιχεία a και b του G, έτσι ώστε a ∗ b ≠ b ∗ a Αυτή η κατηγορία ομάδων έρχεται σε αντίθεση με τις ομάδες abelian.
Είναι κάθε ομάδα αβελιανή;
Όλες οι κυκλικές ομάδες είναι Abelian, αλλά μια ομάδα Abelian δεν είναι απαραίτητα κυκλική. Όλες οι υποομάδες μιας ομάδας Abelian είναι φυσιολογικές. Σε μια ομάδα Abelian, κάθε στοιχείο βρίσκεται σε μια κλάση συζυγίας από μόνο του και ο πίνακας χαρακτήρων περιλαμβάνει δυνάμεις ενός μεμονωμένου στοιχείου που είναι γνωστό ως γεννήτρια ομάδας.
