Επειδή ένας ισομορφισμός διατηρεί κάποια δομική πτυχή ενός συνόλου ή μιας μαθηματικής ομάδας, χρησιμοποιείται συχνά για να χαρτογραφήσει ένα περίπλοκο σύνολο σε ένα απλούστερο ή πιο γνωστό σύνολο προκειμένου να καθιερωθεί ιδιότητες του αρχικού συνόλου. Οι ισομορφισμοί είναι ένα από τα θέματα που μελετώνται στη θεωρία ομάδων.
Τι είναι η συνάρτηση ισομορφισμού;
Στην αφηρημένη άλγεβρα, ένας ισομορφισμός ομάδας είναι μια συνάρτηση μεταξύ δύο ομάδων που δημιουργεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων των ομάδων με τρόπο που σέβεται τις δεδομένες πράξεις ομάδαςΕάν υπάρχει ισομορφισμός μεταξύ δύο ομάδων, τότε οι ομάδες ονομάζονται ισομορφικές.
Τι κάνει έναν ισομορφισμό;
Ορισμός 1 (Ισομορφισμός διανυσματικών χώρων). Δύο διανυσματικά κενά V και W στο ίδιο πεδίο F είναι ισόμορφα αν υπάρχει διχοτόμηση T: V → W που διατηρεί την πρόσθεση και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό, δηλαδή για όλα τα διανύσματα u και v στο V, και όλοι οι βαθμωτοί c ∈ F, T(u + v)=T(u) + T(v) και T(cv)=cT(v).
Ποιο είναι το πλεονέκτημα ενός ισομορφισμού μεταξύ δύο ομάδων;
Ομάδες έχει διάφορες ιδιότητες ή χαρακτηριστικά που διατηρούνται στον ισομορφισμό Ένας ισομορφισμός διατηρεί ιδιότητες όπως η σειρά της ομάδας, είτε η ομάδα είναι αβελική είτε μη αβελική, τον αριθμό των στοιχεία κάθε τάξης, κ.λπ. Δύο ομάδες που διαφέρουν σε καμία από αυτές τις ιδιότητες δεν είναι ισόμορφες.
Ποια είναι η ιδιότητα του ισομορφισμού;
Θεώρημα 1: Αν ισομορφισμός υπάρχει μεταξύ δύο ομάδων, τότε οι ταυτότητες αντιστοιχούν, δηλ. εάν f:G→G' είναι ισομορφισμός και e, e' είναι αντίστοιχα οι ταυτότητες σε G, G′, μετά f(e)=e′.
